Skromen predlog raziskovanja matematične vzgoje

Napisanih je bilo na tisoče ali morda na milijone besed v prid bodisi "nazaj k osnovam" matematičnega izobraževanja bodisi v prid bolj "konstruktivističnim" pristopom. Ta razprava je polarizirana, politična in na trenutke začarana, vendar je nujna. Ta razprava se izvaja v nenehnem pritisku med preteklimi učnimi pristopi (kaj je delovalo? Kaj ni delovalo?) In potrebo po tem, da jih bomo v prihodnosti osveževali.

Za učitelje matematike se ta razprava nikoli ne konča. Najbolj reduktivno imamo stalni medijski cikel, ki zmanjšuje poučevanje matematike in učenje za preverjanje rezultatov ter pogosto hrepenenje po preteklosti, v kateri so bili učenci bolj izkušeni s časovnimi tabelami in številnimi dejstvi. Zmanjševalna argumentirana poteza, ki jo ima "druga stran", je izsiljevanje preteklega pouka matematike kot ustvarjanje "zombi" učencev, ki so sposobni le malo več kot pljuvati nazaj formule in algoritme na testih.

Po eni strani imamo resnično ali zaznano izgubo "osnovnih veščin", ki jo običajno označujemo v razpravi skozi čas takojšnjega priklica, na drugi strani pa imamo idejo, da naši študenti niso dovolj dobri pri reševanju težav za "sodobni svet" ali "prihodnost".

Zelo velja omeniti, da je ta razprava stara več generacij.

Plus ca sprememba?

Razpoloženje, prikazano na spodnji sliki, je bilo objavljeno leta 1991. Generacija pozneje in na videz smo še vedno obtičali, kolesi v blatu iste razprave.

Pouk in učenje matematike je na mnogo načinov napredoval od leta 1989, ko se je začela reforma NCTM. Na številne načine je napredoval tudi od šestdesetih let prejšnjega stoletja, ko so bili poskusni (in sčasoma opuščeni) prvi učni načrti "Nova matematika". Zdi se, da je dosledna pot zvijanja ali celo neuspešna reforma pravzaprav nenehno izpopolnjevanje učne prakse. To pomeni, da je izboljšanje učnega načrta in prakse subtilno, a stalno. Poučevanje samo po sebi je iterativna umetnost. Polarizacijska dihotomija je namenjena politikom in ne učiteljem.

Učitelji so najboljši pri poučevanju. To je njihova umetnost in obrt. Preprosto povedano: utelešeno znanje matematike in kako ga poučevati, se nenehno razvija in posodablja, saj v poklic vstopajo novi učitelji, starejši pa ga zapustijo. Spremembe so stalne in enakomerne, vendar počasne. Čas se premika naprej, tako tudi mi.

Raziskave pa lahko poučujejo o poučevanju. Ta članek je poskus usmeriti pot v prihodnje vrste raziskav, ki lahko poučijo učiteljsko prakso pri pouku matematike.

Lažna dihotomija?

Zanimiv članek H. Wu (1999) opisuje osnovne veščine in konceptualno razumevanje razprave kot "lažno dihotomijo."

Dolgoletna ponudba bo pripomogla k temu:

V izobraževanju matematike je ta razprava v obliki "osnovnih veščin ali konceptualnega razumevanja." Zdi se, da je ta neresnična dihotomija nastala iz skupne napačne predstave o matematiki, ki jo je imel javnost in izobraževalna skupnost: da je potrebna natančnost in tekočnost pri izvajanju osnovnih znanj iz šolske matematike nasprotuje pridobivanju konceptualnega razumevanja. Resnica je, da se v matematiki veščine in razumevanje popolnoma prepletajo. V večini primerov sta natančnost in tekočnost pri izvajanju veščin potrebna orodja za prenos konceptualnega razumevanja. Na eni strani ni "konceptualnega razumevanja" in "spretnosti reševanja problemov" in "osnovnih veščin" na drugi strani.

Avtor očitno dvomi v mit, ki je razširjen, da mora konceptualno razumevanje * priti na prvo mesto. Upoštevajte, da sta procesno razumevanje (kar bi lahko na splošno imenovali "osnovne" spretnosti) in pojmovno razumevanje prepletena ali prepletena - kot v debelem pletenici vrvi, kjer sta oba pramena brezhibno prepletena.

Prepričan sem, da morajo vzgojitelji, raziskovalci in tisti, ki pišejo članke za časopise, opustili prepričanje, da mora eden pred drugim. Prihodnje raziskovalne študije bi lahko preizkusile pridobitev tistega, kar bi lahko na splošno poimenovali „procesno stanje“ in „konceptualno stanje“.

Dajmo na videz preprost primer poučevanja pitagorejskih odnosov.

Razmislimo o dveh skupinah učencev, ki se spuščajo po naslednjih dveh poučnih poteh.

Poučna pot ena

  1. Zapišite formulo na tablo. Pojasnite, kako deluje ta formula.
  2. Dajte dijakom nabor vprašanj za delo. Pokažite jim, kako se lotiti reševanja hipotenuze.
  3. Vprašanja lahko spremenite tako, da študentje rešujejo za nogo.
  4. Odpravite napačne predstave in težave.
  5. Študentom dajte bolj zapletene težave in jih ocenite glede na svoje razumevanje.

Poučna pot druga

  1. Študentom pokažite geometrijski dokaz izrek. Pripnite jim kvadratke na stranice pravokotnih trikotnikov. Preučite odnos, ki ga najdete.
  2. Prevedi svoje ugotovitve v algebro. "Slika", ustvarjena z geometrijskim prikazom, je prevedena v algebrsko obliko.
  3. Študentom pokažite, kako delati formulo. Dajte jim vprašanja, da lahko vadijo.

4. Dajte učencem bolj zapletene težave in jih ocenite po njihovem razumevanju.

Bistvena razlika je geometrijski element druge poti. Toda ta element bi lahko vključili v prvo poučno pot, morda kasneje.

Sami se lahko odločite, kje v poučno pot spada naslednji poziv. Proti začetku? Ko raziskujete izrek? Ali na koncu kot potiskanje razmišljanja študentov, potem ko so obvladali algebro?

Naše raziskovalno vprašanje bi lahko bilo: ali bosta ti dve skupini študentov razumeli pitagorejski odnos na enak način in v isti globini? Če lahko iz naše raziskave ugotovimo trden zaključek, se lahko spuščamo s postopkovne ali konceptualne strani, in če ne, bi lahko ugotovili, da je končna točka obeh skupin približno enaka. Tu velja omeniti: obe poti imata tako imenovane procesne in idejne elemente. Med njima je resnično naprej in nazaj.

Nazaj in naprej ali iteracija med postopkovnim in konceptualnim razumevanjem

Če se bomo skozi določeno obdobje poučevanja vrnili naprej in nazaj in naprej in nazaj med postopkovnim in konceptualnim razumevanjem, potem med tema dvema kategorijama ni trdih in hitrih ovir.

Dokument Rittle-Johnsona, Sieglerja in Alibalija (2001) to zelo pomaga in morda napove pot v prihodnje raziskave. Opažajo, da običajno opazimo eno "vrsto" znanja kot drugo. Avtorji menijo, da ne bi smelo biti tako in da je to brezplodno:

V nasprotju s preteklimi raziskavami in teorijo predlagamo, da skozi razvoj, konceptualno in procesno znanje vplivajo drug na drugega. Konkretno predlagamo, da se konceptualno in procesno znanje razvija iterativno, s povečanjem ene vrste znanja pa se pri drugi vrsti znanja povečuje, kar pri prvem povzroči novo povečanje.

Zasnova študije (v dveh delih n = 74 in n = 59) naj bi študente postavila v številsko vrstico decimalne ulomke (decimalke pod 1). To nalogo so označili za postopkovno. Njihovi sklepi so bili, da procesno znanje navaja konceptualno znanje in obratno. Najbolj razburljivo je bilo videti, da oba podpirata boljše zastopanje težav.

Zastopanje je uzakonjenje mišljenja; študenti morajo imeti načine razmišljanja o matematičnih konceptih. Naš cilj je več kot to, da smo sposobni samo izvesti postopek ali na splošno razmišljati o matematičnih konceptih. Koncept moramo uveljaviti na svetu. Kot ugotavljajo avtorji, znanje o domeni vsebuje tako veščine kot koncepte.

Študija kaže na idejo, da je reprezentacija zapletena. Na primer je mogoče razmisliti o postopku, ki ga je mogoče in je treba razložiti ter zastopati. Na primer, obravnavati postopek kot popolnoma ločeno "stvar" od koncepta, je verjetno slabo. Standardni algoritem za množenje je vezan na predstave o krajevni vrednosti in odvzemu delnih izdelkov, ki se nato seštevajo. Ni razloga, da poučevanje tega postopka ne more biti iterativni koncept procesa in spretnosti, ki sta vezana na tisto, čemur pravimo "učenje algoritma."

Prihodnje tovrstne študije bi lahko poskušale nadalje raziskati, kako se ta ponovitev dogaja. Kako postopki in koncepti delujejo skupaj, ne drug proti drugemu? Sprejem, da jim ni treba delati drug proti drugemu, in da dejansko lahko in morajo sodelovati, bi bil začetek.

Kako postopki in koncepti sodelujejo pri ustvarjanju matematičnega razumevanja?

Le najbolj trden dihotomist bi na tej točki zavrnil, da je mogoče najti skupno stališče. Na tej skupni podlagi bo nekega dne podpisano premirje "matematičnih vojn". Ali pa bomo imeli vsaj boljše in več raziskav, ki kažejo, da se je sploh mogoče srečati na skupnih tleh.

Reference:

Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S., & Alibali, M. W. (2001). Razvoj konceptualnega razumevanja in proceduralne spretnosti iz matematike: iterativni postopek. Časopis za pedagoško psihologijo, 93 (2), 346–362.

http://dx.doi.org/10.1037/0022-0663.93.2.346

Wu, H. Osnovne spretnosti in konceptualno razumevanje. Bogusova dihotomija pri pouku matematike. Ameriški vzgojitelj, v23 n3 str. 14–19,50–52, jesen 1999

https://math.berkeley.edu/~wu/wu1999.pdf